Pengertian dan Metode Kuadrat

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.





Pindahkan ke ruas kanan





lalu samakan penyebut di ruas kanan.





Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.




Pindahkanke ruas kanan




sehingga didapat rumus kuadrat




Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b²-4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D.

Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan kasus :

1. Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat sempurna maka akar-akarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional kuadrat.
2. Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar ganda, dimana nilainya adalah akar 
   
3. Diskriminan bernilai negatif  maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar kompleks yang satu sama lain merupakan konjuget kompleks.  
   

Jadi dapat disimpulkan akan diperoleh akar-akar berbeda jika dan hanya jika D≠0 dan akan diperoleh akar-akar riil jika dan hanya jika D>0.

Terdapat 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu :

1. Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c.
2. Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.
3. Menggunakan rumus abc.

1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat  x²-5x+6=0 !

Jawab :

x2 – 5 x + 6 = 0  (cara memfaktorkan)

<=>  ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

<=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0

<=> x = 2     atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}


2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 !

Jawab    :         x2 + 2x – 15 = 0  (cara melengkapkan kuadrat sempurna)

x2 + 2x = 15

Agar x2 + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien (½ .2)2 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

x2 + 2x + 1 = 15 + 1

<=>     (x + 1)2 = 16

<=>     x + 1 = ± √16

<=>     x + 1 =  ± 4

<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=>     x = 4 – 1 atau x = -4 -1

<=>     x = 3 atau x = -5

Sehingga  himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}



3.  Tentukan  himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0 !

Penyelesaian :      (menggunakan rumus abc)

Berdasarkan persamaan diketahui bahwa   a =1,  b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc.

x1,2 = (- b ± √b2 – 4ac) /2a

<=>     x1,2 =(  - 4  ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1

<=>     x1,2 =  (- 4  ± √16 + 48)/2

<=>     x1,2 =  (- 4  ± √64)/2

<=>     x1,2 =  (- 4  ± 8)/2

<=>     x1,2 =  (- 4  +  8) /2           atau        x1,2 =  (- 4   -  8 )/2

<=>     x1 = 2                        atau       x2 = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}


4.  Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?

Jawab :

Cara 1 :    Memakai faktor, dengan memasukkan nilai akar kedalam rumus     (x-x1) (x-x2) = 0

x1 = 2 dan x2 = 5

Maka   (x-x1) (x-x2) = 0

<=>     (x-2) (x-5) =  0

<=>     x2 – 7x + 10 = 0

Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Cara 2   : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu     x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0

x1 = 2 dan x2 = 5

Maka   x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0

Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7

x1. x2 = 2.5 = 10

Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh dari  penjumlahan dan perkalian rumus abc, perhatikan penjelasan berikut ini.

x1 + x2 =  -b  + √ b2 – 4ac   +  – b  – √ b2 – 4ac
                               2a                              2a

=   -2b/a

=     -b/a

x1 .x2  =  -b  + √ b2 – 4ac   .  – b  – √ b2 – 4ac
                              2a                           2a

= ( b2 – (b2 – 4 ac)) / 4a2

=  4ac /4a2

= c/a

Dari rumus umum persamaan kuadrat  y=ax²+bx+c=0, jika kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar ( baca kembali metode penyelesaikan persamaan kuadrat diatas) sehingga kita dapat memperoleh pernyataan

x2 – (x1   + x2) x + x1.x2 = 0

Sekian dulu penjelasan mengenai Persamaan Kuadrat, semoga bermanfaat dan jika sobat menemukan ada yang kurang pas, mohon koreksinya ya…..  dan jangan lupa baca juga Materi Bilangan Kompleks atau Fungsi Eksponen dan Logaritma.